Описание ООП по направлению подготовки 010101.65 "Математический анализ"

Краткое описание ООП

Специальность:

010101.65 Математика,
специализация "Математический анализ"

Уровень образования:

высшее образование - специалитет

Нормативный срок обучения при очной форме обучения:

5 лет

Форма обучения: 

очная

Срок действия государственной аккредитации образовательной программы:

до 29 мая 2015,
копия свидетельства о государственной аккредитации

Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования  по специальности

Утвержден  приказом Министерства образования и науки Российской Федерации
от 15 марта 2000 г

 

Описание образовательной программы:   

Основная образовательная программа высшего профессионального образования по специальности 010101 "Математика" разработана на математическом факультете КемГУ в соответствии с государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования, утвержденным приказом Министерства образования Российской Федерации от 02.03.2000 № 686 "Об утверждении государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования". Нормативный срок освоения основной образовательной программы подготовки выпускника по специальности 010100 "Математика" при очной форме обучения - 5 лет. Нормативный срок освоения основной образовательной программы подготовки выпускника по специальности 010101 "Математика" при очно-заочной форме обучения - 6 лет.

Область профессиональной деятельности выпускника:
Специалист-математик осуществляет деятельность, в областях, использующих математические методы и компьютерные технологии; работы по созданию и использованию математических моделей процессов и объектов в различных областях человеческой деятельности; организует и выполняет работы по разработке эффективных математических методов решения задач естествознания, техники, экономики и управления. Занимается программно-управленческим обеспечением научно-исследовательской, проектно конструкторской и эксплуатационно-управленческой деятельности. Составляет научно-технические отчеты, готовит документацию по сопровождению программных разработок, проводит патентную работу, участвует в работе научно-практических семинаров и конференций.
Исходя из своих квалификационных возможностей и в соответствии со специализацией специалист-математик подготовлен к самостоятельной работе на должностях математика, математика-программиста, научного сотрудника в научно-исследовательских и научно-производственных учреждениях в соответствии с требованиями Квалификационного справочника должностей руководителей, специалистов и других служащих, утвержденного постановлением Минтруда России от 21.08.98 N 37 в соответствии со специализацией Специалист-математик подготовлен к педагогической деятельности на должности преподавателя в средней школе и учреждениях профессионального образования при условии освоения дополнительной образовательной программы психолого-педагогического профиля. Объектами профессиональной деятельности математика являются научно-исследовательские центры, органы управления, образовательные учреждения, промышленное производство.

Возможности продолжения образования:
Выпускник подготовлен к обучению в аспирантуре по математическим и смежным специальностям.

  Полный текст ООП

 

  Список учебных дисциплин ООП  - перечень учебных дисциплин и копии рабочих программ

Аннотации к рабочим программам

Наименование дисциплины Содержание дисциплины
ИНОСТРАННЫЙ ЯЗЫК Иметь представление об основных способах сочетаемости лексических единиц и основных словообразовательных моделях. Владеть навыками и умениями речевой деятельности применительно к сфере бытовой и профессиональной коммуникации, основами публичной речи. Владеть формами деловой переписки, навыками подготовки текстовых документов и управленческой деятельности. Уметь работать с оригинальной литературой по специальности, иметь навык работы со словарем, владеть основной иноязычной терминологией специальности, знать русские эквиваленты основных и слов и выражений профессиональной речи. Владеть основами реферирования и аннотирования литературы по специальности
ФИЗИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА Физическая культура в общекультурной и профессиональной подготовке студентов; социально-биологические основы физической культуры; основы здорового образа и стиля жизни; оздоровительные системы и спорт (теория, методика, практика); профессионально-прикладная физическая подготовка.
ОТЕЧЕСТВЕННАЯ ИСТОРИЯ Сущность, формы, функции исторического знания. Методы и источники изучения истории. Понятие и классификация исторического источника. Античное наследие в эпоху Великого переселения народов. Проблема этногенеза восточных славян. Основные этапы становления государственности.
ФИЛОСОФИЯ Предмет философии. Место и роль философии в культуре. Становление философии. Основные направления, школы философии и этапы ее исторического развития. Структура философского знания. Учение о бытии. Монистические и плюралистические концепции бытия, самоорганизация бытия. Понятия материального и идеального. Пространство, время. Движение и развитие, диалектика. Детерминизм и индетерминизм. Динамические и статистические закономерности. Научные, философские и религиозные картины мира. Человек, общество, культура. Человек и природа. Общество и его структура. Гражданское общество и государство. Человек в системе социальных связей. Человек и исторический процесс; личность и массы, свобода и необходимость. Формационная и цивилизационная концепции общественного развития. Смысл человеческого бытия. Насилие и ненасилие. Свобода и ответственность. Мораль, справедливость, право. Нравственные ценности. Представления о совершенном человеке в различных культурах. Эстетические ценности и их роль в человеческой жизни. Религиозные ценности и свобода совести. Сознание и познание. Сознание, самосознание и личность. Познание, творчество, практика. Вера и знание. Понимание и объяснение. Рациональное и иррациональное в познавательной деятельности. Проблема истины. Действительность, мышление, логика и язык. Научное и вненаучное знание. Критерии научности. Структура научного познания, его методы и формы. Рост научного знания. Научные революции и смены типов рациональности. Наука и техника. Будущее человечества. Глобальные проблемы современности. Взаимодействие цивилизаций и сценарии будущего.
ЭКОНОМИКА Введение в экономическую теорию. Блага. Потребности, ресурсы. Экономический выбор. Экономические отношения. Экономические системы. Основные этапы развития экономической теории. Методы экономической теории. Микроэкономика. Монополия. Монополистическая конкуренция. Олигополия. Антимонопольное регулирование. Макроэкономическое равновесие. Совокупный спрос и совокупное предложение. Стабилизационная политика. Равновесие на товарном рынке. Потребление и сбережения. Инвестиции. Государственные расходы и налоги. Эффект мультипликатора. Бюджетно-налоговая политика. Деньги и их функции. Равновесие на денежном рынке. Денежный мультипликатор. Банковская система. Денежно-кредитная политика. Экономический рост и развитие. Международные экономические отношения. Внешняя торговля и торговая политика. Платежный баланс. Валютный курс/Распределение и доходы. Преобразования в социальной сфере. Структурные сдвиги в экономике. Формирование открытой экономики
РУССКИЙ ЯЗЫК И КУЛЬТУРА РЕЧИ Стили современного русского литературного языка. Языковая норма, ее роль в становлении и функционировании литературного языка. Речевое взаимодействие. Основные единицы общения. Устная и письменная разновидности литературного языка. Нормативные, коммуникативные, этические аспекты устной и письменной речи. Функциональные стили современного русского языка. Взаимодействие функциональных стилей. Научный стиль. Специфика использования элементов различных языковых уровней в научной речи. Речевые норны учебной и научной сфер деятельности. Официально-деловой стиль, сфера его функционирования, жанровое разнообразие. Языковые формулы официальных документов. Приемы унификации языка служебных документов. Интернациональные свойства русской официально-деловой письменной речи. Язык и стиль распорядительных документов. Язык и стиль коммерческой корреспонденции. Язык и стиль инструктивно-методических документов. Реклама в деловой речи. Правила оформления документов. Речевой этикет в документе. Жанровая дифференциация и отбор языковых средств в публицистическом стиле. Особенности устной публичной речи. Оратор и его аудитория. Основные виды аргументов. Подготовка речи: выбор темы, цель речи, поиск материала, начало, развертывание и завершение речи. Основные приемы поиска материала и виды вспомогательных материалов. Словесное оформление публичного выступления. Понятливость, информативность и выразительность публичной речи. Разговорная речь в системе функциональных разновидностей русского литературного языка. Условия функционирования разговорной речи, роль внеязыковх факторов. Культура речи. Основные направления совершенствования навыков грамотного письма и говорения.
ПЕДАГОГИКА И ПСИХОЛОГИЯ Психология: предмет, объект и методы психологии. Место психологии в системе наук. История развития психологического знания и основные направления в психологии. Индивид, личность, субъект, индивидуальность. Психика и организм. Психика, поведение и деятельность. Основные функции психики. Развитие психики в процессе онтогенеза и филогенеза. Мозг и психика. Структура психики. Соотношение сознания и бессознательного. Основные психические процессы. Структура сознания. Познавательные процессы. Ощущение. Восприятие. Представление. Воображение. Мышление и интеллект. Творчество. Внимание. Мнемические процессы. Эмоции и чувства. Психическая регуляция поведения и деятельности. Общение и речь. Психология личности. Межличностные отношения. Психология малых групп. Межгрупповые отношения и взаимодействия.
КУЛЬТУРОЛОГИЯ Структура и состав современного культурологического знания. Культурология и философия культуры, социология культуры, культурная антропология. Культурология и история культуры. Теоретическая и прикладная культурология. Методы культурологических исследований. Основные понятия культурологии: культура, цивилизация, морфология культуры, функции культуры, субъект культуры, культурогенез, динамика культуры, язык и символы культуры, культурные коды, межкультурные коммуникации, культурные ценности и нормы, культурные традиции, культурная картина мира, социальные институты культуры, культурная самоидентичность, культурная модернизация. Типология культур. Этническая и национальная, элитарная и массовая культуры. Восточные и западные типы культур. Специфические и "серединные" культуры. Локальные культуры. Место и роль России в мировой культуре. Тенденции культурной универсализации в мировом современном процессе. Культура и природа. Культура и общество. Культура и глобальные проблемы современности. Культура и личность. Инкультурация и социализация.
ПОЛИТОЛОГИЯ Объект, предмет и метод политической науки. Функции политологии. Политическая жизнь и властные отношения. Роль и место политики в жизни современных обществ. Социальные функции политики. История политических учений. Российская политическая традиция: истоки, социокультурные основания, историческая динамика. Современные политологические школы. Институциональные аспекты политики. Политическая власть. Политическая система. Социокультурные аспекты политики. Мировая политика и международные отношения. Особенности мирового политического процесса. Национально-государственные интересы России в новой геополитической ситуации. Методология познания политической реальности. Парадигмы политического знания. Экспертное политическое знание; политическая аналитика и прогностика.
ИСТОРИЯ КУЗБАССА Изучение данного курса логически примыкает к общему курсу истории России, расширяя её знания, обогащая её сведениями о конкретных событиях и явлениях, происходивших на каждом историческом этапе на территории одного из крупнейших индустриальных регионов страны - событий в Кузбассе.
ПРАВОВЕДЕНИЕ Государство и право. Их роль в жизни общества. Норма права и нормативно-правовые акты. Основные правовые системы современности. Международное право как особая система права. Источники российского права.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ПО ПЕДАГОГИКЕ Современные стратегии и модели образования. Развивающие педагогические технологии. Концепция воспитательной работы классного руководителя. Составление конспектов воспитательных дел. Особенности воспитательной работы со старшими школьниками. Реализация воспитательной задачи на уроке.
СОЦИОЛОГИЯ Понятие социологии. Общество и социальные институты. Социальные группы и общности. Социальная организация. Социальные движения. Социальное неравенство, стратификация и социальная мобильность. Понятие социального статуса. Социальное взаимодействие и социальные отношения. Культура как фактор социальных изменений. Социальные изменения. Методы социологического исследования.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ИСТОРИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ Исторические исследования, их особенность и структура. Философские системы в исторических исследованиях. Закономерности и случайности в истории и их отношения в исторических исследованиях. Формирование понятия числа в цивилизованном отражении. Историческая хронология и особенности ее создания. Календарные системы. Количественные методы в обработке исторических материалов и создании исторических теорий. Особенности развития основных понятий теории вероятности и статистики.
СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ MATLAB Введение в Matlab. Экономические приложения MatLab. Социальные приложения MatLab
ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В СРЕДЕ MAPLE Математическое моделирование в Maple. Экономические
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ПСИХОЛОГИИ Основные понятия в психологии социологии и матстатистике. Основные типы распределений и соответствующие критерии, статистическое оценивание, факторный, дискретный и кластерный анализ.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ И ЭКОЛОГИИ Проблемы и методы современных естественных наук; методы математического моделирования в современном естествознании и экологии.
КОМПЬЮТЕРНЫЕ НАУКИ Понятие информации, общая характеристика процессов сбора, передачи, обработки накопления информации; технические и программные средства реализации информационных процессов. Основные алгоритмические конструкции. Структуры данных: вектор, матрица, запись (структура), стек, дек, очередь, последовательность, список, множество, бинарное дерево; реализация структур. Рекурсивные и итерационные алгоритмы обработки данных. Структуры данных в прикладных программах; примеры использования и реализации различных структур (редактор текстов, стековой калькулятор Компиляция и интерпретация: основные этапы компиляции, лексический, семантический анализ выражения, формальная грамматика, компилятор формулы, дерево синтаксического разбора. Операционные системы. Методы тестирования и отладки программ. Понятие об архитектуре ЭВМ: процессор и система его команд, структура памяти ЭВМ и способы адресации, выполнение команды в процессоре, взаимодействие процессора, памяти и периферийных устройств. Локальные и глобальные сети ЭВМ; основы зашиты информации и сведений, составляющих государственную тайну; методы защиты информации
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ Введение в численные методы; постановка задачи интерполяции; интерполяционный многочлен Лагранжа; его существование и единственность; оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа; понятие о количестве арифметических операций, как об одном из критериев оценки качества алгоритма; разделенные разности; интерполяционный многочлен Лагранжа в форме Ньютона с разделенными разностями; многочлены Чебышева, их свойства; минимизация остаточного члена погрешности интерполирования; тригонометрическая интерполяция; дискретное преобразование Фурье; наилучшее приближение в нормированном пространстве; существование элемента наилучшего приближения; Чебышевский альтернате, примеры; ортогональные многочлены; процесс ортогонализации Шмидта; запись многочлена в виде разложения по ортогональным многочленам, ее преимущества; рекуррентная формула для вычисления ортогональных многочленов; сплайны; экстремальные свойства сплайнов; построение кубического интерполяционного сплайна; простейшие квадратурные формулы прямоугольников, трапеций; квадратурные формулы Ньютона- Котеса; оценки погрешности этих квадратурных формул; квадратурные формулы Гаусса, их построение, положительность коэффициентов, коэффициентов, сходимость; составные квадратурные формулы, оценки погрешности; интегрирование сильно осциллирующих функций; вычисление интегралов в нерегулярных случаях; численное дифференцирование, вычислительная погрешность формул численного дифференцирования; правило Рунге оценки погрешности; основные задачи линейной алгебры, метод Гаусса; метод простой итерации, теорема о достаточном условии сходимости, необходимое и достаточное условие сходимости; метод простой итерации для симметричных положительно определенных матриц, оптимизация параметра процесса; процесс ускорения сходимости итераций; метод наискорейшего градиентного спуска; метод Зейделя; методы решения нелинейных уравнений (метод бисекций, метод простой итерации и метод Ньютона); метод разложения в ряд Тейлора решения задачи Коши для ОДУ, метод Эйлера и его модификации, методы Рунге-Кутта; конечно-разностные методы, понятие об аппроксимации, исследование свойств конечно-разностных схем на модельных примерах; основные понятия теории разностных схем аппроксимация, устойчивость, сходимость; аппроксимация, устойчивость и сходимость для простейшей краевой задачи для ОДУ второго порядка; методы решения системы ЛАУ с трехдиагональной матрицей (метод стрельбы и метод прогонки); метод конечных элементов; простейшие разностные схемы для уравнения переноса, спектральный признак устойчивости, примеры; простейшие разностные схемы для уравнения теплопроводности с одной пространственной переменной, явная и неявная схемы, схема с весами, устойчивость и аппроксимация схемы с весами, схема со вторым порядком аппроксимации; разностная схема для уравнения Пуассона в прямоугольнике, ее корректность; методы решения сеточной задачи Дирихле для уравнения Пуассона (метод Гаусса, метод разложения в дискретный ряд Фурье, метод простой итерации); численные методы решения интегральных уравнений второго рода; метод регуляризации решения интегральных уравнений первого рода
ФИЗИКА Физические основы механики: кинематика, динамика, статика, законы сохранения, основы релятивистской механики; элементы гидродинамики; электричество и магнетизм; физика колебаний и волн: гармонический и ангармонический осцилляторы, физический смысл спектрального разложения, волновые процессы, основные акустические и оптические явления; квантовая физика: корпускулярно-волновой дуализм, принцип неопределенности, квантовые состояния; молекулярная физика и термодинамика: три начала термодинамики, фазовые равновесия и фазовые превращения, элементы неравновесной термодинамики
КОНЦЕПЦИИ СОВРЕМЕННОГО ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ Естественнонаучная и гуманитарная культуры; научный метод; история естествознания; панорама современного естествознания; тенденции развития. Химические процессы, реакционная способность веществ. Эволюция Земли и современные концепции развития геосферных оболочек. Особенности биологического уровня организации материи; принципы эволюции, воспроизводства и развития живых систем; многообразие живых организмов - основа организации и устойчивости биосферы; генетика и эволюция. Человек: физиология, здоровье, эмоции, творчество, работоспособность; биоэтика, биосфера и космические циклы; ноосфера, необратимость времени, самоорганизация в живой и неживой природе; принципы универсального эволюционизма; путь к единой культуре.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИКА Предмет, основные цели и задачи математической экономики. Математическое моделирование экономических систем и явлений. Методика и этапы проведения математических исследований в экономике. Экономика как объект математического моделирования. Формализация предпочтения потребителя при выборе товаров. Функция полезности как критерий оценки товаров. Предельный анализ и понятие эластичности в теории потребления. Оптимизационная модель задачи потребительского выбора. Анализ влияния дохода и цен на спрос. Уравнение Слуцкого Пространство затрат и производственная функция. Предельный анализ и эластичность в теории производства. Математические модели задачи фирмы. Решение задачи фирмы. Геометрическая иллюстрация. Анализ влияния цен на объемы затрат и выпуска. Основное уравнение фирмы Моделирование ценообразования в монополии. Экономическое равновесие. Содержательный аспект. Рыночный спрос и рыночное предложение. Условия совершенной конкуренции. Описание общей модели Вальраса. Модель Эрроу-Дебре. Существование конкурентного равновесия. Модель регулирования цен и устойчивость конкурентного равновесия Планирование выпуска на уровне отраслей Модель Леонтьева "Затраты-выпуск" Планирование производства в динамике Модель расширяющейся экономики Неймана Магистральные траектории в линейных моделях экономики Математическая модель олигополии. Анализ дуополии Курно. Краткий анализ других видов дуополии
СИСТЕМЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ Отображение геометрического объекта на плоскости; аппарат проецирования: точка, прямая, плоскость, линия, поверхность, их пересечения, развертки; способ замены плоскостей проекций; метрические задачи; позиционные задачи; аксонометрические проекции; аппаратная база машинной графики: графические дисплеи; представление объектов и их машинная генерация; программные средства компьютерной графики: базовые средства (графические объекты, примитивы и их атрибуты), графические возможности языков высокого уровня, графические редакторы; графические языки: основные конструкции, представление алгоритмов изображения объектов; графические библиотеки и их использование; интерактивная машинная графика как подсистема систем автоматического проектирования. Основы фракталов: обратная связь и итерация; принцип обратной связи; основные типы процессов обратной связи; побочный эффект малых возмущений; устойчивость вычислений. Классические фракталы и самоподобие: множество Кантора; фракталы Серпинского; кривая Коха; кривые, заполняющие плоскость; фракталы и проблемы размерности; фрактальные кривые и рекурсии. Множества Жюлиа и Мандельброта и их компьютерное построение. Динамические процессы. Бифуркации. Динамики Ферхюльста. Диаграмма Фейгенбаума. Число Фейгенбаума и его универсальность. Фрактальная графика. Кодирование изображений с помощью простых преобразований. Фрактальное сжатие изображений. IFS-фракталы. Декодирование сжатых изображений.
КОМПЬЮТЕРНЫЕ СИСТЕМЫ БУХУЧЕТА И ЭКОНОМИКИ Основные термины и понятия бухгалтерского учета. Основные разделы учета на предприятии. Основные свойства и приемы работы с программой "1С:Бухгалтерия". Отражение хозяйственной деятельности предприятия за отчетный период в программе " 1С Бухгалтерия".
АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ Понятие информации, экономической информации. Классификация экономической информации. Свойства ЭИ. Форма представления экономической информации. Систематизация экономической информации. Классификаторы, коды и технология их применения. Штриховое кодирование, технология и области применения. Этапы обработки экономической информации. Автоматизированные информационные технологии обработки экономической информации. Информационная технология и этапы ее развития. Концепция "новой информационной технологии". Развитие автоматизированной информационной технологии обработки экономической информации. Особенности технологии автоматизированной обработки экономической информации. Учреждения как центры обработки информации. Автоматизированное рабочее место (АРМ), его назначение, виды, обеспечение функционирования. Телекоммуникация и информация Технологии передачи данных. Компьютерные сети: локальные, глобальные. Информационный рынок России. Глобальные компьютерные сети в финансово- экономической деятельности. Правовое обеспечение информационной деятельности. Объекты информационного права. Законодательство в области информации и информационных технологий. Классификация компьютерных преступлений. Компьютерные вирусы. Меры защиты информации.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Вещественные числа. Предел числовой последовательности. Предел и непрерывность функции одной переменной. Дифференцирование функций одной переменной. Интегрирование функций одной  переменной. Исследование функции и построение её графика. Определённый интеграл Римана. Приложения и приближённые вычисления интеграла Римана. Предел последовательности в En и предел функции нескольких переменных. Дифференцирование функций нескольких переменных. Неявные функции,  зависимость и независимость функций. Локальный экстремум (условный и безусловный) функции нескольких переменных. Числовые ряды. Бесконечные произведения, двойные и повторные ряды
АЛГЕБРА Матрицы и операции над ними. Элементарные преобразования матриц и приведение их к ступенчатой форме. Определитель n-го порядка и его свойства. Теорема Лапласа и ее следствия. Обратная матрица. Линейные операции над векторами. Понятие вещественного линейного пространства. Линейная зависимость векторов и ее геометрический смысл. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре и ее следствия. Система линейных алгебраических уравнений. Системы с квадратной невырожденной матрицей. Исследование систем общего вида.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Векторы: векторы, их сложение и умножение на число; линейная зависимость векторов и ее геометрический смысл; базис и координаты; скалярное произведение векторов; переход от одного базиса к другому; ориентация; ориентированный объем параллелепипеда; векторное и смешанное произведения векторов. Прямая линия и плоскость: системы координат; переход от одной системы координат к другой; уравнение прямой линии на плоскости и плоскости в пространстве; взаимное расположение прямых на плоскости и плоскостей в пространстве; прямая в пространстве. Линии второго порядка: квадратичные функции на плоскости и их матрицы; ортогональные матрицы и преобразования прямоугольных координат; ортогональные инварианты квадратичных функций; приведение уравнения линий второго порядка к каноническому виду; директориальное свойство эллипса, гиперболы и параболы; пересечение линий второго порядка с прямой; центры линий второго порядка; асимптоты и сопряженные диаметры; главные направления и главные диаметры; оси симметрии. Аффинные преобразования: определение и свойства аффинных преобразований; аффинная классификация линий второго порядка; определение и свойства изометрических преобразований; классификация движений плоскости. Поверхности второго порядка: теорема о канонических уравнениях поверхностей второго порядка (без доказательства); эллипсоиды; гиперболоиды; параболоиды; цилиндры; конические сечения; прямолинейные образующие; аффинная классификация поверхностей второго порядка. Проективная плоскость: пополненная плоскость и связка; однородные координаты; линии второго порядка в однородных координатах; проективные системы координат; проективные системы преобразования
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Векторные пространства: линейная зависимость векторов; размерность и базис векторного пространства; координаты вектора в заданном базисе; изоморфность векторных пространств одинаковой конечной размерности; подпространства векторного пространства; линейная оболочка и ранг системы векторов; пересечение и сумма подпространств; прямая сумма; линейные функции; сопряженное пространство; дуальный базис; линейные отображения векторных пространств, их задание матрицами; ядро и образ линейного отображения; условие существования обратного отображения; линейные операторы; действия над ними; матрицы оператора в различных базисах; инвариантные подпространства; собственные векторы и собственные значения; характеристический многочлен линейного оператора; теорема Гамильтона-Кэли. Жорданова клетка: корневые пространства; разложение в прямую сумму; теорема о жордановой нормальной форме матрицы линейного оператора в комплексном и в вещественном пространстве; единственность жордановой нормальной формы; необходимое и достаточное условие диагонализируемости матрицы; полилинейные функции на векторном пространстве: общее понятие о тензорах; координаты тензора; переход от одной системы координат к другой; задание тензоров типа /2,0/ (билинейных функций) матрицей; квадратичные и эрмитовы формы; приведение симметрических билинейных форм к каноническому виду; закон инерции; положительно определенные формы; критерий Сильвестра; свертка тензора; симметрические и кососимметрические тензоры; операция симметрирования и альтернатирования; внешнее умножение; внешняя алгебра; связь с определителями; ориентация конечномерного векторного пространства. Евклидовы и унитарные векторные пространства: длина вектора и угол между векторами; неравенство Коши-Буняковского; ортонормированные базисы; процесс ортогонализации; ортогональные и унитарные матрицы; примеры; изоморфность унитарных пространств одинаковой размерности; соответствие между билинейными формами и линейными операторами; линейный оператор, сопряженный к данному; симметрические и эрмитовы линейные операторы; их спектр; существование собственного ортонормированного базиса; приведение квадратичной (эрмитовой) формы к главным осям; ортогональные и унитарные линейные операторы; канонический базис для них. Аффинные (точечные) пространства: системы координат; плоскости в аффинном пространстве; их задание системами линейных уравнений; расстояние между точками евклидова пространства; расстояние от точки и до плоскости; объем в евклидовом пространстве; объем параллелепипеда и определитель Грама; аффинные отображения: их запись в координатах: разложение аффинного преобразования в произведение сдвига и преобразования, оставляющего на месте точку; геометрический смысл определителя аффинного преобразования; движение евклидова пространства; классификация движений; теоретико-групповая точка зрения на геометрию; аффинная и евклидова геометрия; квадрики (гиперповерхности второго порядка) в аффинном пространстве: классификация квадрик в аффинной и евклидовой геометриях
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ Логические исчисления, модели: исчисление высказываний; аксиомы; правило вывода; производные правила вывода; тождественная истинность выводимых формул; непротиворечивость исчисления высказываний; теорема о полноте исчисления высказываний; предикаты; логические операции над предикатами и их теоретико-множественный смысл; кванторы; геометрический смысл квантора существования; модели; формулы; свободные и связанные переменные; истинность формул в модели, на множестве; общезначимые формулы; эквивалентные формулы логики предикатов; правила преобразований формул в эквивалентные; нормальная форма; исчисление предикатов; аксиомы; правила вывода; производные правила вывода; торжественная истинность выводимых формул; непротиворечивость исчисления предикатов; формулировка теоремы о полноте исчисления предикатов. *Теорема о полноте для случая одноместных предикатов. Вычислимые функции: машины Тьюринга; вычислимые функции; тезис Черча; примеры вычислимых функций; рекурсивные, рекурсивно перечислимые множества и их алгоритмическая характеристика; теорема Поста; примеры алгоритмически неразрешимых проблем; неразрешимость проблем самоприменимости, применимости; теорема Поста-Маркова
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Понятие дифференциального уравнения; поле направлений, решения; интегральные кривые, векторное поле; фазовые кривые. Элементарные приемы интегрирования: уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения, уравнения в полных дифференциалах, интегрирующий множитель, линейное уравнение, уравнение Бернулли, метод введения параметра, уравнения Лагранжа и Клеро. Задача Коши: теорема существования и единственности решения задачи Коши (для системы уравнений, для уравнения любого порядка). Продолжение решений; линейные системы и линейные уравнения любого порядка; интервал существования решения линейной системы (уравнения). Линейная зависимость функций и определитель Вронского; формула Лиувилля-Остроградского; фундаментальные системы и общее решение линейной однородной системы (уравнения); неоднородные линейные системы (уравнения
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Кинематика: траектория, закон движения, скорость точки, ускорение точки, теорема о сложении скоростей, угловая скорость твердого тела (поступательного и вращательного), пара вращений, теорема Эйлера о поле скоростей движущегося твердого тела, поле скоростей и ускорений тела с одной неподвижной точкой, теорема Кориолиса. Динамика точки: законы Ньютона, уравнения движения материальной точки в декартовых и естественных осях, теоремы динамики точки, первые интегралы уравнений движения. Движение под действием центральной силы, законы Кеплера, движение по поверхности и кривой (точка со связью), реакции связей, теорема об изменении энергии для несвободной точки, относительное движение и относительное равновесие точки со связью, вес тела на Земле. Динамика систем точек: связи и их классификация, обобщенные координаты и обобщенные силы, принцип виртуальных перемещений для несвобождающих связей, принцип Даламбера-Лагранжа для систем с идеальными связями, силы внутренние и внешние, теоремы динамики систем, формулы Кенига, первые интегралы уравнений движения и законы сохранения. Аналитическая механика: уравнения Лагранжа второго рода, циклические и позиционные координаты, уравнения Рауса для систем с циклическими координатами, канонические уравнения Гамильтона, принципы Гамильтона и Якоби.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Геометрические объекты: кривые, способы задания. Кривизна плоских кривых, пространственные кривые, репер Френе, кривизна и кручение пространственных кривых, формулы Френе, натуральное уравнение кривой, Эволюта и эвольвента. Поверхности способы задания поверхностей, координаты на поверхности, касательная плоскость, первая квадратичная форма поверхности, площадь поверхности, кривизна кривых на поверхности, вторая квадратичная форма и ее свойства, инварианты пары квадратичных форм; средняя и гауссова кривизна поверхности; деривационные формулы, символы Кристоффеля поверхности, геодезическая кривизна, геодезические и их свойства. Многомерные геометрические объекты: проективное пространство, аффинная карта проективного пространства, модели проективных пространств малой размерности, метрические группы.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Вероятность. Пространство исходов; операции над событиями; алгебра и сигма-алгебра элементарных событий; измеримое пространство; алгебра борелевских множеств; аксиоматика А.Н. Колмогорова; свойства вероятности. Вероятностное пространство как математическая модель случайного эксперимента; теорема об эквивалентности аксиом аддитивности и непрерывности вероятности; дискретное вероятностное пространство; классическое определение вероятности; функция распределения вероятностной меры, ее свойства; теорема о продолжении меры с алгебры интервалов в Р на сигма-алгебру борелевских множеств; взаимнооднозначное соответствие между вероятностными мерами и функциями распределения; непрерывные и дискретные распределения; примеры вероятностных пространств. Случайные величины и векторы: функции распределения случайных величин и векторов; функции от случайных величин; дискретные и непрерывные распределения; сигма-алгебры, порожденные случайными величинами. Условная вероятность; формула полной вероятности; независимость событий; задача о разорении игрока; прямое произведение вероятностных пространств; схема Бернулли; предельные теоремы для схемы Бернулли. Математическое ожидание: интеграл Лебега; математическое ожидание случайной величины; дисперсия; теоремы о математическом ожидании и дисперсии; вычисление математического ожидания и дисперсии для некоторых распределений; ковариация, коэффициент корреляции; неравенство Чебышева; закон больших чисел. Предельные теоремы: характеристическая функция, многомерное нормальное распределение; виды сходимости: по вероятности, с вероятностью 1, по распределению; прямая и обратная теоремы для характеристических функций; центральная предельная теорема; формула обращения для характеристических функций; неравенство Колмогорова; усиленный закон больших чисел
ТОПОЛОГИЯ Гладкие многообразия. Общие сведения из общей топологии: топологическое пространство, метрическое пространство, непрерывное отображение, гомеоморфизмы, компактность, связность; определение гладкого многообразия, отображение многообразий, примеры многообразий: гладкие поверхности, матричные группы, проективное пространство; многообразие с краем; риманова метрика; касательный вектор, касательное пространство к многообразию, векторные поля на многообразии. Тензорный анализ на многообразиях. Тензоры на римановом многообразии: общее определение тензора, алгебраические операции над тензорами, поднятие и опускание индексов, оператор Ходжа; кососимметрические тензоры, дифференциальные формы, внешнее произведение дифференциальных форм, внешняя алгебра; поведение тензоров при отображениях, дифференциал отображения, отображение касательных пространств. Связность и ковариантное дифференцирование: ковариантная производная тензоров, параллельный перенос векторных полей, геодезические; связности, согласованные с метрикой; тензор кривизны, симметрии тензора кривизны; тензор кривизны, порожденный метрикой; тензоры кривизны двух- и трехмерных многообразий. Дифференциальные формы и теория интегрирования: разбиение единицы на многообразии, интеграл дифференциальной формы, примеры: криволинейные и поверхностные интегралы второго рода; общая формула Стокса; примеры: формулы Грина, Стокса и Остроградского-Гаусса. Элементы топологии многообразий. Гомотопия: определение гомотопии, аппроксимация отображений и гомотопии гладкими, относительная гомотопия; степень отображения: определение степени, гомотопическая классификация отображений многообразия в сферу; степень и интеграл; степень векторного поля на поверхности; теорема Гаусса-Бонне; индекс особой точки векторного поля; теорема Пуанкаре-Бендиксона.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ Введение: возникновение функционального анализа как самостоятельного раздела математики; современное развитие функционального анализа и его связь с другими областями математики. Метрические и топологические пространства: множества, алгебра множеств; счетные множества и множества мощности континуума; метрические пространства; открытые и замкнутые множества; компактные множества в метрических пространствах; критерий Хаусдорфа; полнота и пополнение; теорема о стягивающих шарах; принцип сжимающих отображений; топологические пространства; примеры. Мера и интеграл Лебега: построение меры Лебега на прямой; общее понятие аддитивной меры; лебеговское продолжение меры; измеримые функции их свойства; определение интеграла Лебега; класс суммируемых функций; предельный переход под знаком интеграла; связь интеграла Лебега с интегралом Римана; интеграл Стилтьеса; теорема Радона-Никодима; прямое произведение мер и теорема Фубини; пространства L1LР (р>1); неравенства Гельдера и Минковского. Банаховы пространства: определение линейного нормированного пространства; примеры норм; банаховы пространства; сопряженное пространство, его полнота; теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала; общий вид линейных функционалов в некоторых банаховых пространствах; линейные операторы; норма оператора; сопряженный оператор; принцип равномерной ограниченности; обратный оператор; спектр и резольвента; теорема Банаха об обратном операторе; компактные операторы; компактность интегральных операторов; понятие об индексе; теорема Фредгольма; примеры использования теоремы Фредгольма (задача Штурма-Лиувилля, теория потенциала, индекс дифференциального оператора). Гильбертовы пространства: скалярное произведение; неравенство Коши-Буняковского-Шварца; ортогональные системы; неравенство Бесселя; базисы и гильбертова размерность; теорема об изоморфизме, ортогональное дополнение; общий вид линейного функционала; самосопряженные (эрмитовы) и унитарные операторы; ортопроекторы; спектр эрмитова и унитарного оператора; теорема Гильберта о компактных эрмитовых операторах; функциональное исчисление; приведение оператора к виду умножения на функцию; спектральная теорема; неограниченные самосопряженные операторы; примеры
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Комплексные числа: комплексные числа, комплексная плоскость; модули и аргумент комплексного числа, их свойства; числовые последовательности пределы, ряды; стереографическая проекция, ее свойства; сфера Римана, расширенная комплексная плоскость; множества на плоскости, области и кривые. Функции комплексного переменного и отображения множеств: функции комплексного переменного; предел функции; непрерывность, модуль непрерывности; дифференцируемость по комплексному переменному, условие Коши-Римана; аналитическая функция; геометрический смысл аргумента и модуля производной; понятие о конформном отображении. Элементарные функции: целая линейная и дробно-линейная функция, их свойства, общий вид дробно-линейного отображения круга на себя и верхней полуплоскости на круг; экспонента и логарифм, степень с произвольным показателем; понятие о римановой поверхности на примерах логарифмической и общей степенной функций; функция Жуковского; тригонометрические и гиперболические функции. Интеграл по комплексному переменному, его простейшие свойства, связь с криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода; сведение к интегралу по действительному переменному; первообразная функция, формула Ньютона-Лейбница; переход к пределу под знаком интеграла; интегральная теорема Коши
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Вывод уравнений колебаний струны, теплопроводности, Далласа; постановка краевых задач, их физическая интерпретация. Теорема Коши-Ковалевской; понятия характеристического направления, характеристики; приведение к каноническому виду и классификация линейных уравнений с частными производными второго порядка. Волновое уравнение; энергетические неравенства; единственность решения задачи Коши и смешанной задачи; вывод формул Кирхгофа и Пуассона, исследование этих формул; метод Фурье для уравнения колебаний струны, общая схема метода Фурье. Уравнения Далласа и Пуассона; формулы Грина; фундаментальное решение оператора Далласа; потенциалы; свойства гармонических функций; единственность решений основных краевых задач для уравнения Далласа ; функция Грина задачи Дирихле; решение задачи Дирихле для уравнения Далласа в шаре; единственность решения внешней задачи Дирихле; обобщенные решения краевых задач. Уравнение теплопроводности; принцип максимума в ограниченной области и единственность решения задачи Коши; построение решения задачи Коши для уравнения теплопроводности. Понятие корректной краевой задачи; примеры корректных и некорректных краевых задач.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Статистические модели и основные задачи статистического анализа, примеры; экспоненциальные семейства; статистическое оценивание, методы оценивания; неравенство информации; достаточные статистики; условное распределение, условное математическое ожидание; улучшение несмещенной оценки посредством усреднения по достаточной статистике; полные достаточные статистики; наилучшие несмещенные оценки; теорема факторизации; линейная регрессия с гауссовыми ошибками; факторные модели; общие линейные модели; достаточные статистики в линейных моделях; метод наименьших квадратов, ортогональные планы; анализ одной нормальной выборки, доверительные интервалы; проверка статистических гипотез, основные понятия; лемма Неймана- Пирсона; равномерно наиболее мощные критерии, примеры; проверка линейных гипотез в линейных моделях; критерий К.Пирсона "хи-квадрат"; оценки наибольшего правдоподобия, состоятельность; понятие асимптотической нормальности случайной последовательности; асимптотическая нормальность оценок максимального правдоподобия; примеры преобразований, стабилизирующих экспертные оценки
ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Определение случайного процесса, конечномерные распределения; траектории; теорема Колмогорова о существовании процесса с заданным семейством конечномерных распределений (без доказательства). Классы случайных процессов: гауссовские, марковские, стационарные, точечные с независимыми приращениями; примеры; соотношения между классами. Свойства многомерных гауссовских процессов; существование гауссовского процесса с заданным средним и корреляционной матрицей; свойства симметрии и согласованности. Винеровский процесс; критерий Колмогорова непрерывности траектории; следствие для гауссовских процессов. Пуассоновский процесс; построение пуассоновского процесса по последовательности независимых показательных распределений; определение Хинчина пуассоновского процесса. Среднеквадратическая теория: необходимые и достаточные условия непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости; стохастический интеграл; процессы с ортогональными приращениями. Пример стационарного, гауссовского, марковского процесса; примеры стационарных в широком смысле процессов. Цепи Маркова с непрерывным временем; уравнение Колмогорова-Чепмэна; прямые и обратные дифференциальные уравнения Колмогорова; время пребывания процесса в данном состоянии. Процессы гибели и размножения; связь с теорией массового обслуживания; применение к расчету пропускной способности технических систем.
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Комбинаторика и графы: выборки, перестановки, сочетания, перестановки с повторениями; сочетания с повторениями; биномиальные коэффициенты, их свойства; биномиальная теорема; полиномиальная теорема; формула включения и исключения. *Производящие функции и рекуррентные соотношения. Графы: основные понятия; способы представления графов, перечисление графов; оценка числа неизоморфных графов с ц ребрами; эйлеровы циклы; теорема Эйлера; укладки графов; укладка графов в трехмерном пространстве; планарность; формула Эйлера для плоских графов; деревья и их свойства; оценка числа неизоморфных корневых деревьев с д ребрами. *Теорема Кюли о числе деревьев на нумерованных вершинах. Потоки в сетях: теорема Форда-Фалкерсона о максимальном потоке и минимальном разрезе; алгоритм нахождения максимального потока; теорема о целочисленности; задача о назначениях; паросочетания; теорема Холла о паросочетаниях в двудольном графе. *Дискретные экстремальные задачи, алгоритм Краскаля нахождения минимального основного дерева; метод ветвей и границ. Булевы функции: булевы функции; табличный способ задания; существенные и несущественные переменные; формулы; эквивалентность формул; элементарные функции и их свойства; разложение функций по переменной; совершенная дизъюнктивная нормальная форма; полные системы функций; полиномы Жегалкина; представление булевых функций полиномами
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ Элементы дифференциального исчисления и выпуклого анализа; гладкие задачи с равенствами и неравенствами; правило множителей Лагранжа; задачи линейного программирования и проблемы экономики; теорема двойственности; классическое вариационное исчисление; уравнение Эйлера; условия второго порядка Лежандра и Якоби; задачи классического вариационного исчисления с ограничениями; необходимые условия в изопериметрической задаче и задаче со старшими производными; классическое вариационное исчисление и естествознание; оптимальное управление; принцип максимума Понтрягина; оптимальное управление и задачи техники; методы решения задач линейного программирования; симплекс-метод; методы решения задач без ограничения; градиентные методы; метод Ньютона; методы сопряженных направлений; численные методы решения задач вариационного исчисления и оптимального управления
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ Предмет курса; краткий исторический обзор развития теории чисел; основные направления исследований и основные методы; влияние теории чисел на развитие других разделов математики; применение теоретико-числовых результатов в математике и ее приложениях; роль русских и советских математиков в развитии теории чисел; простые числа: свойства делимости целых чисел; простые числа; решето Эратосфена; теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел; основная теорема арифметики о разложении целых чисел на простые сомножители; наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное ; некоторые частные случаи теоремы Дирихле о бесконечности множества простых чисел в арифметической прогрессии; арифметические функции; целая и дробная часть числа; разложение числа п! на простые множители; суммы, распространенные на делители числа; мультипликативные функции; функция Эйлера и ее свойства; сумма делителей и число делителей; оценки Чебышева для функции числа простых чисел, не превосходящих х ; цепные дроби; конечные цепные дроби; подходящие дроби и их свойства; нахождение наибольшего общего делителя с помощью цепных дробей; бесконечные цепные дроби; разложение действительных чисел в цепные дроби; приближение действительных чисел рациональными числами; подходящие дроби как наилучшие приближения; признак иррациональности числа; иррациональность числа "е"; теорема Лагранжа о разложении квадратичных иррациональностей в цепные дроби; числовые сравнения: сравнения и их основные свойства; вычеты и классы вычетов по модулю т; кольца классов вычетов; полная система вычетов; приведенная система вычетов; теорема Эйлера и Ферма;
ТЕОРИЯ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Мера плоских множеств. Мера элементарных множеств. Мера Лебега плоских множеств. Измеримость неограниченных множеств. Лебегово продолжение меры, произведение мер. Измеримые функции, свойства, сходимость последовательностей измеримых функций. Поточечная сходимость, сходимость по мере. Интеграл Лебега. Простые функции, измеримость простых функций, интеграл Лебега от произвольной измеримой функции. Свойства интеграла Лебега. Теоремы Лебега, Леви, Фату. Теорема Фубини. Интеграл по множеству бесконечной меры. Интеграл Лебега с переменным верхним пределом и его свойства. Абсолютная непрерывность. Интеграл Стилтьеса
ТЕОРИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ Сходимость в пространстве Д-основных функций. Регулярные обобщенные функции класса Д. Сходимость в пространстве Д-функций. Пространство обобщенных функций медленного роста. Сверстка обобщенных функций. Непрерывность операции сверстки. Свойства прямого и обратного преобразований Фурье обобщенных функций медленного роста
ФРАКТАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Основы фракталов: обратная связь и итерация; принцип обратной связи; основные типы процессов обратной связи; побочный эффект малых возмущений; устойчивость вычислений. Классические фракталы и самоподобие: множество Кантора; фракталы Серпинского; кривая Коха; кривые, заполняющие плоскость; фракталы и проблемы размерности; фрактальные кривые и рекурсии. Множества Жюлиа и Мандельброта и их компьютерное построение. Динамические процессы. Бифуркации. Динамики Ферхюльста. Диаграмма Фейгенбаума. Число Фейгенбаума и его универсальность. Фрактальная графика. Кодирование изображений с помощью простых преобразований. Фрактальное сжатие изображений. IFS-фракталы. Декодирование сжатых изображений.
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ Топологическое пространство. Функции на топологическом пространстве. Индуцированная топология. Фактор-топология, группы, действующие на пространствах. Хаусдорфовы пространства. Гомотопия непрерывных отображений. Фундаментальные группы
ДопОЛНИТЕЛЬНЫЕ главы теории дифференциальных уравнений с частными производными Курс "Дополнительные главы дифференциальных уравнений с частными производными" посвящен методам исследования вопросов корректности математических моделей естественнонаучных явлений, которые приводят к задачам для дифференциальных уравнений с частными производными. Теоретической основой таких методов является функциональный анализ, обобщенные функции и пространства Соболева.
Базы данных в информационных системах организация баз данных; модели данных; основные функции поддержки баз данных; языки запросов, представление знаний; экспертные системы.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ Определение группы Ли. Примеры. Матричные группы Ли. Примеры. Матричная экспонента. Однопараметрические подгруппы. Нормальные координаты. Алгебра Ли группы Ли. Определение алгебры Ли. Примеры. Левые и правые сдвиги на группе Ли. Левоинвариантные векторные поля и их свойства. Алгебра Ли группы Ли. Примеры алгебр Ли матричных групп. Алгебра Ли группы вращений трехмерного пространства. Структурные константы алгебры Ли. Левоинвариантные формы на группе Ли и их свойства. Каноническая форма Маурера-Картана. Структурное уравнение группы Ли. Экспоненциальное отображение алгебры Ли. Однопараметрические подгруппы. Нормальные координаты на группе Ли. Гомоморфизмы групп Ли. Накрывающие пространства Подгруппы Ли. Элементы представлений. Инвариантные подпространства. Неприводимые, вполне приводимые пространства. Теорема Шура. Матричные элементы представлений. Присоединенное представление. Форма Киллинга-Картана. Пример. Полупростые алгебры Ли. Разрешимые и нильпотентные алгебры Ли. Структура полупростых алгебр Ли. Подалгебра Картана. Корни
Качественная теория дифференциальных уравнений Качественная теория дифференциальных уравнений - это раздел классической теории дифференциальных уравнений, основным методом которой является изучение качественных свойств поведения дифференциальных уравнений без непосредственного построения самих решений. В этом и состоит значимость данной учебной дисциплины, поскольку известно, что явное аналитическое представление решения возможно только для очень узкого класса дифференциальных уравнений и систем. Настоящий курс посвящен вопросам исследования на устойчивость решений систем дифференциальных уравнений, изучения качественного поведения траекторий автономных систем в окрестности ее точек покоя, бифуркации точек покоя и циклов автономных систем дифференциальных уравнений. Эти вопросы имеют важное прикладное значение связанное с устойчивостью реальных объектов, моделируемых системами дифференциальных уравнений.
ОБРАБОТКА ТЕКСТОВОЙ ИНФОРМАЦИИ Сравнительное описание различных систем, используемых для подготовки текстов естественно-научного характера. Команды, структуры и приемы оформления текстов в Латехе. Форматирование математических формул. Оформление таблиц, рисунков, графики. Управление размерами и типами шрифтов. Оформление библиографии и ссылок на ее элементы. Способы поиска и исправления ошибок. Способы перекодировки материалов, приготовленных в различных форматах и программах.
Кристаллографические группы Одними из интересных и важных примеров групп являются группы симметрий бесконечных фигур на плоскости или в пространстве. Бордюры, орнаменты, кристаллы - доставляют нам примеры таких фигур, группы симметрий которых представляют собой важный пример групп, называемых в литературе (плоскими) кристаллографическими группами.
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ КРИПТОГРАФИЯ Введение в криптографию. Методы симметричных систем защиты информации. Асимметричные системы защиты информации. Элементы криптографии на эллиптических кривых. Методы установления подлинности и целостности данных.
Методы слабой аппроксимации решения многомерных задач математической физики Данный курс посвящается методам построения и математического анализа численного решения прикладных задач. Этот метод является одним из основных экономичных разностных схем.
Специальные математические модели Курс "Специальные математические модели" построен с позиции моделирования физических задач. При изучении данной дисциплины необходимым является владение основными методами уравнений дифференциальных уравнений и численного анализа; также является знакомство с методами моделирования объектов, рассматриваемых в различных областях практических знаний: механики, экологии и динамики популяций, теплопроводности, химической кинетики, и методам анализа этих моделей с помощью пакетов прикладных программ.
1. Тензорный анализ. Линейное пространство и сопряженное к нему. Отображения линейных пространств. Индуцированный линейный оператор. Билинейные формы. Базис пространства L2(V). Кососимметрические 2-формы. Базис пространства Λ2(V). Полилинейные формы. Тензорное произведение. Базис пространства Lp(V). Косые p-формы. Альтернация форм и ее свойства. Внешнее произведение. Базис пространства Λp(V). Сопряжённые отображения пространств p-форм и их свойства. Тензоры. Тензоры в евклидовом пространстве. Пространства TRn и T*Rn. Тензорные поля в области евклидова пространства. Векторные поля, скобка Ли. Локальные однопараметрические группы локальных преобразований, порождаемые векторными полями. Метрический тензор, римановы пространства, ковариантная производная, символы Кристоффеля. Дифференциальные p-формы в области евклидова пространства. Внешний дифференциал. Производная Ли тензора. Производная Ли векторного поля и дифференциальной формы.
2. Дифференцируемые многообразия. Группы Ли. Матричные группы Ли. Матричная экспонента. Однопараметрические подгруппы. Нормальные координаты. Алгебра Ли группы Ли. Левые и правые сдвиги на группе Ли. Левоинвариантные векторные поля. Алгебра Ли группы вращений трехмерного пространства. Структурные константы алгебры Ли. Левоинвариантные формы на группе Ли и их свойства. Каноническая форма Маурера-Картана. Структурное уравнение группы Ли. Экспоненциальное отображение алгебры Ли. Однопараметрические подгруппы. Нормальные координаты на группе Ли. Гомоморфизмы групп Ли. Накрывающие пространства. Подгруппы Ли. Инвариантные подпространства. Неприводимые, вполне приводимые пространства. Теорема Шура. Матричные элементы представлений. Присоединенное представление. Форма Киллинга-Картана. Группа SU(2). Полупростые алгебры Ли. Разрешимые и нильпотентные алгебры Ли. Структура полупростых алгебр Ли. Подалгебра Картана.
3. Асимптотические методы. Основные асимптотические соотношения "о", "О", "~". Асимптотические последовательности. Асимптотические ряды. Степенные асимптотические ряды. Равномерно сходящиеся асимптотические ряды. Асимптотика интегралов. Принцип локализации. Асимптотика канонических интегралов. Регулярно зависящие от параметра краевые задачи. Алгебраические уравнения и краевые задачи, регулярно зависящие от параметра. Сингулярно зависящие от параметра краевые задачи. Алгебраические уравнения и краевые задачи, сингулярно зависящие от параметра. Метод пограничного слоя построения равномерных асимптотических разложений некоторых краевых задач, сингулярно зависящих от малого параметра.
4. Римановы многообразия Линейные связности. Тензоры кручения и кривизны линейной связности и их свойства. Выражения связности, тензоров кручения и кривизны в локальных координатах. Тождество Бьянки. Параллельный перенос линейной связности. Римановы многообразия. Риманова структура. Риманова связность. Связность Леви-Чевита, ее существование. Геодезические и нормальные координаты. Тензор Риччи и скалярная кривизна. Секционная кривизна. Эйнштейновы метрики. Конформно эквивалентные метрики. Подмногообразия в Rn. Иммерсии и вложения. Гиперповерхности в Rn . Первая и вторая фундаментальные формы. Формулы Гаусса и Вейнгартена. Геометрия групп Ли. Левоинвариантные метрики. Выражение символов Кристоффеля через структурные константы. Кривизны левоинвариантной метрики.
5. Комплексные многообразия. Комплексное пространство Cn. Голоморфные функции. Плюригармонические функции. Теорема Лиувилля. Теорема Хартогса. Голоморфные и биголоморфные отображения. Комплексные многообразия. Дифференциальные формы на многообразии. Формула Стокса. Внешний дифференциал. Теорема Коши-Пуанкаре. Формулы Мартинелли-Бохнера и Лере. Лемма Вейля. Фундаментальные группы и накрытия. Римановы поверхности - определение и примеры. Группа гомологий и фундаментальная группа на римановой поверхности. Клейновы группы. Униформизация римановых поверхностей. Универсальная накрывающая поверхность. Фуксовы группы. Функции и абелевы дифференциалы на компактной римановой поверхности. Периоды абелевых дифференциалов. Дивизоры. Теорема Римана-Роха. Теорема Вейерштрасса о пробелах на компактной римановой поверхности. Многообразия Якоби. Теорема Абеля. Проблема обращения Якоби. Гиперэллиптические римановы поверхности. Линейные системы дивизоров и их базисные точки. Тэта-функция Римана. Точки Вейерштрасса на компактной римановой поверхности.
6. 1С Программирование, конфигурирование, администрирование. Язык программирования 1С. Компонентная организация системы "1С: Предприятие" Аппаратный ключ защиты. Подключение новой информационной базы к системе. Дерево метаданных. Программный модуль. Глобальный модуль. Процедуры и функции программного модуля. Базовые типы данных. Область использования переменной. Управляющие операторы, системные процедуры и функции языка 1С. Константы, перечисления и справочники. Отчеты и печатные формы. Формирование диаграммы. Конструктор печати. Редактор таблиц. Бухгалтерский учет. Шаблон кода счета. Объект "Счет", "Оперативный учет" и "Расчет". Оборотный регистр и регистр остатков. Работа с документами и формами. Работа с отладчиком. Таблица значений, оборотно-сальдовая ведомость, регламентированные отчеты.
7. Дополнительные главы уравнений математической физики. Квазилинейное уравнение с частными производными первого порядка; метод характеристик; нелинейные волны и явление "градиентной катастрофы". Сильные и слабые разрывы в решениях. Условия Рэнкина-Гюгонио. Законы сохранения и проблема единственности решения задачи Коши. Обобщенное решение сильного разрыва (ударной волны). Нелинейное уравнение первого порядка с двумя независимыми переменными. Конус Монжа. Полный, общий и особый интегралы. Характеристика. Задача Коши. Инварианты Римана. Системы нормального вида. Касательные преобразования Лежандра и Коула-Хопфа. Дифференциальная факторизация; преобразования Лапласа.
8. Вычислительная геометрия. Алгоритмические основы. Структуры данных. Задачи вычислительной геометрии. Геометрический поиск. Задачи локализации точки. Принадлежность Многоугольнику. Объектно-ориентированное программирование. Объекты, классы и абстрактные типы данных. Передача сообщений. Наследование. Полиморфизм. Построение объектной модели. Язык С++. Рекурсия. Указатели и ссылки. Массивы. Символьные строки. Поиск в массивах: Линейный и двоичный поиск. Структуры и функции. Классы. Конструктор и деструктор.
9. Математические методы в естествознании и экологии-2 Математические модели жидкой среды. Несжимаемая вязкая жидкость. Сжимаемость. Основные уравнения и упрощающие предположения. Модель мелкой воды. Невязкая несжимаемая жидкость. Уравнения Навье- Стокса. Граничные условия. Диссипация энергии. Размерностный подход к решению задач механики и жидкости. Основной математический аппарат. Нелинейные конформные отображения и их применение к задачам газовой динамики. Некоторые плоские задачи механики. Парадоксы в схеме идеальной жидкости. Задачи со свободными границами.
10. Подготовка текстов в LATEX Этапы создания документа в LaTeX. Программа LED. Форматирование текста. Основные команды форматирования. Таблицы. Списки. Библиография. Математика в LaTeX. Графика в LaTeX.
11. Дополнительные главы ТФКП Целые и мероморфные функции, формула Кристоффеля - Шварца, проблема коэффициентов, уравнение Левнера, метод Куфарева.
12. Дополнительные главы дифференциальной геометрии Решение задач по дифференциальной геометрии с помощью пакета Maple.
Теория групп Определения и примеры. Гомоморфизм групп. Подгруппы. Циклические группы. Смежные классы. Нормальные подгруппы. Прямые произведения групп. Конечные абелевы группы. Действия групп на множествах. Теоремы Силова. Простые группы. Группы четных подстановок. Автоморфизмы групп. Графы. Графы Кэли. Свободные группы. Нильпотентные группы. Разрешимые группы. Простые группы.
Метод внешних форм Картана Внешние формы. Внешние дифференциальные формы. Внешние алгебраические системы. Внешние дифференциальные системы уравнений. Приложения.
Линейчатая геометрия Метод подвижного репера Линейчатые поверхности. Линейчатые конгруэнции. Линейчатые комплексы
Теория графов Основные понятия. Метрические свойства графов. Независимость и доминирование. Гамильтоновы графы. Разложения графов. Раскраски. Симметрия графов
Воспитание интереса к математике Проблема воспитания интереса к математике на уроке. Необходимые условия и антистимулы. Поиск способов заинтересовать учащихся при изучении конкретных тем школьной математике
Дополнительные главы уравнений математической физики Квазилинейное уравнение с частными производными первого порядка; метод характеристик; нелинейные волны и явление "градиентной катастрофы". Сильные и слабые разрывы в решениях. Условия Рэнкина-Гюгонио. Законы сохранения и проблема единственности решения задачи Коши. Обобщенное решение сильного разрыва (ударной волны). Нелинейное уравнение первого порядка с двумя независимыми переменными. Конус Монжа. Полный, общий и особый интегралы. Характеристика. Задача Коши. Инварианты Римана. Системы нормального вида. Касательные преобразования Лежандра и Коула-Хопфа. Дифференциальная факторизация; преобразования Лапласа.
Вычислительная геометрия Алгоритмические основы. Структуры данных. Задачи вычислительной геометрии. Геометрический поиск. Задачи локализации точки. Принадлежность Многоугольнику. Объектно-ориентированное программирование. Объекты, классы и абстрактные типы данных. Передача сообщений. Наследование. Полиморфизм. Построение объектной модели. Язык С++. Рекурсия. Указатели и ссылки. Массивы. Символьные строки. Поиск в массивах: Линейный и двоичный поиск. Структуры и функции. Классы. Конструктор и деструктор.
Математические методы в естествознании и экологии-2 Математические модели жидкой среды. Несжимаемая вязкая жидкость. Сжимаемость. Основные уравнения и упрощающие предположения. Модель мелкой воды. Невязкая несжимаемая жидкость. Уравнения Навье- Стокса. Граничные условия. Диссипация энергии. Размерностный подход к решению задач механики и жидкости. Основной математический аппарат. Нелинейные конформные отображения и их применение к задачам газовой динамики. Некоторые плоские задачи механики. Парадоксы в схеме идеальной жидкости. Задачи со свободными границами.
Подготовка текстов в LATEX Этапы создания документа в LaTeX. Программа LED. Форматирование текста. Основные команды форматирования. Таблицы. Списки. Библиография. Математика в LaTeX. Графика в LaTeX.
Дополнительные главы ТФКП Целые и мероморфные функции, формула Кристоффеля - Шварца, проблема коэффициентов, уравнение Левнера, метод Куфарева.
Дополнительные главы дифференциальной геометрии Решение задач по дифференциальной геометрии с помощью пакета Maple.
Введение в механику сплошных сред Предмет и методы механики сплошных сред. Математический аппарат механики сплошных сред. Представление движения сплошной среды. Теория деформаций. Теория напряжений. Законы сохранения в механике. Простейшие модели механики сплошных сред (идеальная и вязкая жидкости).
Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений Постановка краевых задач для ОДУ. Функция Грина и ее свойства. Собственные функции и собственные значения. Теоремы разложения Стеклова. Связь краевых задач с теорией интегральных уравнений.
Гидродинамика идеальной несжимаемой жидкости Уравнения движения несжимаемой жидкости. Вихревые и потенциальные плоские течения. Задачи обтекания твердых тел. Волновое движение идеальной жидкости
Численное решение задач математической физики Введение. Основные понятия и математический аппарат теории разностных схем. Разностные схемы для стационарных уравнений. Разностные схемы для нестационарных уравнений.
Обобщенные решения краевых задач математической физики Обобщенные функции. Некоторые вопросы функционального анализа. Уравнения эллиптического типа. Уравнения гиперболического типа. Уравнения параболического типа.
Введение в теорию вариационных неравенств Введение. Вариационные неравенства в конечномерных пространствах. Вариационные неравенства в гильбертовом пространстве. .Вспомогательные сведения из функционального анализа. Метод наискорейшего спуска. Метод Ньютона-Канторовича. Вариационная постановка и исследование задач со свободной границей.
Дополнительные главы уравнений математической физики Квазилинейное уравнение с частными производными первого порядка; метод характеристик; нелинейные волны и явление "градиентной катастрофы". Сильные и слабые разрывы в решениях. Условия Рэнкина-Гюгонио. Законы сохранения и проблема единственности решения задачи Коши. Обобщенное решение сильного разрыва (ударной волны). Нелинейное уравнение первого порядка с двумя независимыми переменными. Конус Монжа. Полный, общий и особый интегралы. Характеристика. Задача Коши. Инварианты Римана. Системы нормального вида. Касательные преобразования Лежандра и Коула-Хопфа. Дифференциальная факторизация; преобразования Лапласа.
Вычислительная геометрия Алгоритмические основы. Структуры данных. Задачи вычислительной геометрии. Геометрический поиск. Задачи локализации точки. Принадлежность Многоугольнику. Объектно-ориентированное программирование. Объекты, классы и абстрактные типы данных. Передача сообщений. Наследование. Полиморфизм. Построение объектной модели. Язык С++. Рекурсия. Указатели и ссылки. Массивы. Символьные строки. Поиск в массивах: Линейный и двоичный поиск. Структуры и функции. Классы. Конструктор и деструктор.
Математические методы в естествознании и экологии-2 Математические модели жидкой среды. Несжимаемая вязкая жидкость. Сжимаемость. Основные уравнения и упрощающие предположения. Модель мелкой воды. Невязкая несжимаемая жидкость. Уравнения Навье- Стокса. Граничные условия. Диссипация энергии. Размерностный подход к решению задач механики и жидкости. Основной математический аппарат. Нелинейные конформные отображения и их применение к задачам газовой динамики. Некоторые плоские задачи механики. Парадоксы в схеме идеальной жидкости. Задачи со свободными границами.
Подготовка текстов в LATEX Этапы создания документа в LaTeX. Программа LED. Форматирование текста. Основные команды форматирования. Таблицы. Списки. Библиография. Математика в LaTeX. Графика в LaTeX.
Дополнительные главы ТФКП Целые и мероморфные функции, формула Кристоффеля - Шварца, проблема коэффициентов, уравнение Левнера, метод Куфарева.
Дополнительные главы дифференциальной геометрии Решение задач по дифференциальной геометрии с помощью пакета Maple.
1. Методологические основы школьной математики. Классификация алгебраических соотношений. Методы решения алгебраических соотношений на основе принципа равносильности. Векторная алгебра и декартов метод как основные формализованные методы решения задач школьной геометрии.
2. Внеклассная работа по математике в школе. Психолого-педагогические основы организации внеклассной работы по математике. Основные цели, принципы и формы внеклассной работы по математике. Системы нестандартных задач по математике для кружковой работы. Арифметические методы решения задач. Алгебраические методы решения задач. Метод "соответствия". Геометрические задачи. Основы ведения внеурочной работы по математике.
3. Научные основы в обучении математики. Группы Ли. Матричные группы Ли. Матричная экспонента. Однопараметрические подгруппы. Нормальные координаты. Алгебра Ли группы Ли. Левые и правые сдвиги на группе Ли. Левоинвариантные векторные поля. Алгебра Ли группы вращений трехмерного пространства. Структурные константы алгебры Ли. Левоинвариантные формы на группе Ли и их свойства. Каноническая форма Маурера-Картана. Структурное уравнение группы Ли. Экспоненциальное отображение алгебры Ли. Однопараметрические подгруппы. Нормальные координаты на группе Ли. Гомоморфизмы групп Ли. Накрывающие пространства. Подгруппы Ли. Инвариантные подпространства. Неприводимые, вполне приводимые пространства. Теорема Шура. Матричные элементы представлений. Присоединенное представление. Форма Киллинга-Картана. Группа SU(2). Полупростые алгебры Ли. Разрешимые и нильпотентные алгебры Ли. Структура полупростых алгебр Ли. Подалгебра Картана.
4. Решение задач повышенной трудности. Точки экстремума функции одной переменной. Производная, ее геометрический и физический смысл. Необходимое и достаточное условие экстремума функции одной переменной. Решение задач на экстремум, зависящих от параметра. Приложение производной к доказательству неравенств и тождеств и решению функциональных уравнений. Доказательство неравенств и тождеств. Решение функциональных уравнений с помощью производной. Доказательство неравенств, тождеств и утверждений методом математической индукции. Решение алгебраических уравнений, сводящихся к уравнениям второй, третьей и четвертой степени. Доказательство неравенств и тождеств с помощью метода математической индукции.
5. Активизация учебной деятельности школьников. Понятие активизации. Условия и средства. Приемы активизации. Методы. Классификация. Активные методы обучения. Игра, ее компонент. Нетрадиционные формы урока. Нестандартные задачи.
МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ Предмет методики преподавания математики. Цели изучения математики в средней школе. Анализ программы по математике . Индукция и дедукция. Анализ и синтез в обучении математике. Метод математической индукции. Математические понятия, предложения, доказательства. Задачи в обучении математике.Частная методика: числовые системы в школьном курсе математики, тождественные преобразования, уравнения и неравенства, их классификация, равносильность. Функции и графики, элементы дифференциального интегрального исчисления. Принципы построения школьного курса геометрии. Взаимное расположение прямых и плоскостей
ИСТОРИЯ И МЕТОДОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ Зарождение математики от древнейших времен до средних веков (Египет, Греция, Арабский мир). Дифференциация математики в средние века (Италия, Франция). Синтез алгебры и геометрии у Декарта. Становление математического анализа. Становление современной алгебры и геометрии в 19 веке. Интеграционные процессы в современной математике.
НАУЧНЫЕ ОСНОВЫ ШКОЛЬНОГО КУРСА Аксиоматическое построение. Аксиоматика школьных учебников по геометрии. Анализ школьных учебников. Логико-дидактический анализ. Отдельные главы алгебра, начал анализа и геометрии: теория делимости, метод координат, элементы теории вероятности, принцип Дирихле. Активизация учебной деятельности школьников, активные методы обучения, их классификация, средства активизации, различные формы урока. Активизация учебной деятельности на факультативах. Новые технологии. Особенности работы в классах с углубленным изучением математики
НОВЫЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ Введение в технические средства построения информационных систем и сетей передачи данных. Основные информационные сервисы. Правовые основы деятельности по защите информации. Этапы создания информационных систем. Безопасность основных информационных ресурсов. Организационные средства обеспечения безопасности. Правовые основы деятельности по защите информации. Система стандартов для разработки и обеспечения качества программных систем. Проектирование информационного ресурса с использованием языков НТML и JavaScript.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ПО ПСИХОЛОГИИ Предмет курса, обработка психологической информации, методы непараметрической статистики, корреляционный анализ для различных шкал измерения, многомерный анализ психологических исследований.
ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ Решение нестандартных задач алгебры и геометрии. Задачи с параметрами. Методика выполнения тестов по математике.
БЕЗОПАСНОСТЬ ЖИЗНЕДЕЯТЕЛЬНОСТИ Теоретические основы безопасности жизнедеятельности в системе "человек - среда обитания"; правовые, нормативно-технические и организационные основы безопасности жизнедеятельности; основы физиологии человека и рациональные условия деятельности; анатомо-физиологические последствия воздействия на человека травмирующих, вредных и поражающих факторов; идентификацию травмирующих, вредных и поражающих факторов чрезвычайных ситуаций; средства и методы повышения безопасности, экологичности и устойчивости технических средств и технологических процессов; методе прогнозирования чрезвычайных ситуаций и разработки моделей их последствий.

Обеспеченность основной учебной и методической литературой всех дисциплин образовательной программы соответствует установленным нормам и требованиям образовательного стандарта по данному направлению подготовки.

 

Практики:

  Педагогическая практика

Целями практики является самостоятельное выполнение студентами в условиях образовательных учреждений определенных практикой реальных производственных и общественных задач на основе закрепления теоретических и практических знаний, умений и навыков по предмету; формирование в условиях производства профессиональных способностей студента на основе решения следующих современных проблем: соединение компонентов фундаментального, специального и профессионального математического образования с их практическим использованием в конкретной педагогической деятельности; включение студентов в непрерывный педагогической процесс образовательного учреждения; обеспечение студентов необходимой научно-методической литературой и техническими средствами для выполнения задач практики; раскрытие особенностей работы студентов в учебных организациях специфического профиля.
Задачами педагогической практики является: 1. Углубление и закрепление теоретических знаний, и их использование в процессе педагогической практики. 2. Приобретение студентами навыков самостоятельного ведения научной, учебной, воспитательной и профориентационной работы с учетом особенностей предприятия. 3. Подготовка студентов к проведению различного типа, вида и форм педагогической деятельности, использование разнообразных методов и приемов, активизирующих познавательную, учебную, общественную деятельность обучающихся. 4. Развитие у студентов любви к профессии, стремления к изучению специальных и педагогических дисциплин, совершенствованию педагогических, профессиональных знаний в целях подготовки к творческому решению задач и проблем. 5. Развитие у студентов интереса к научно - исследовательской работе, привития им навыков ведения исследований в области специальных и педагогических наук, поиска наиболее эффективных методов обучения и воспитания.

  Производственная практика

Целями производственной практики является закрепление и расширение знаний обучающихся по основным и специальным дисциплинам математики, их взаимосвязям с естествознанием, техникой, философией. Итогом производственной практики должно стать: изучение теоретических, практических основ математики или информатики; оформление и представление научно-исследовательской или научно-методической работы по профилю подготовки.
Задачами производственной практики является: 1. Определение темы научного или научно-методического исследования. 2. Получение теоретических и практических знаний, умений, навыков по математике или информатике. 3. Проведение анализа научной, научно-методической литературы. 4. Постановка и решение задач, доказательство основных положений. 5. Разработка прикладных аспектов. 6. Оформление результатов исследования.

  Учебный план ООП

Отчет о результатах самообследования по направлению подготовки 010101.65 МАТЕМАТИКА